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線性向量

•2 min•436 words
乘法計算加法計算向量矩陣線性代數

在整個線性代數中，最基本的單位就是一個向量，假設一個擁有兩個值的向量像是

V=[v1v2]V = \begin{bmatrix}v_{1} \\ v_{2} \end{bmatrix}

向量加法

假設另一組向量ww一樣包含於兩個值w=[w1w2]w = \begin{bmatrix} w_{1} \\ w_{2} \end{bmatrix}

可以進行向量的加法像是

v+w=[v1v2]+[w1w2]=[v1+w1v2+w2]v + w = \begin{bmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} w_{1} \\ w_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_{1} + w_{1} \\ v_{2} + w_{2} \end{bmatrix}

向量乘法

同樣的可以將向量乘上一組實數

2v=2[v1v2]=[2v12v2]\text{2} v = \text{2} \begin{bmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \text{2}v_{1} \\ 2v_{2} \end{bmatrix}

c[v1v2]=[cv1cv2],where c ∈Zc\begin{bmatrix}v_{1} \\ v_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cv_{1} \\ cv_{2} \end{bmatrix}, where \> c \> \in \mathbb{Z}

在實數的運算下加法跟乘法一樣可以同時計算

cv+dw=[cv1+dw1cv2+dw2]cv + dw = \begin{bmatrix} cv_{1}+dw_{1} \\ cv_{2}+dw_{2}\end{bmatrix}

這被稱作vv跟ww的線性組合，其中cc跟dd是實數，而不斷擴充下去可以到nn個維度的線性組合

線性方程式

傳統上可以看到聯立方程式如下

{x−2y=13x+2y=11\begin{cases} x-2y = 1 \\ 3x+2y = 11\end{cases}

可以使用矩陣的形式來表示一組聯立方程式像是

[1−232][xy]=[111]\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 11\end{bmatrix}

可以將其視為一組2 ×\times 2的矩陣，另外通常會表示成

Ax=bAx = b

AA是一組矩陣，目前是用row的角度在觀察這一組線性方程式，如果換成column的角度觀察的話可以表示成：

x[13]+y[−22]=[111]x \begin{bmatrix}1 \\ 3 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} -2 \\ 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 11 \end{bmatrix}

我們的目標就是找出左邊矩陣可能的線性組合來滿足右邊的矩陣，

3[13]+1[−22]=[111]\text{3} \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} + \text{1}\begin{bmatrix} -2 \\ 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 11 \end{bmatrix}

同樣的可以將這樣的表示法擴展到 nn 個維度上